Desmitificando el problema de Monty Hall: una guía paso a paso

El problema de Monty Hall es un famoso acertijo de probabilidad que ha sido objeto de muchos debates y controversias. En este post vamos a explorar el problema y su solución de una forma simple y accesible para todo público.

El problema de Monty Hall

Supongamos que estás en un concurso de televisión y te dan a elegir entre tres puertas: detrás de una hay un auto; detrás de las otras, cabras. Eliges una puerta, digamos la número 1, y el presentador, que sabe qué hay detrás de cada puerta, abre otra puerta, digamos la número 3, que tiene una cabra. Entonces te dice: “¿Quieres cambiar a la puerta número 2?”

El presentador, naturalmente, sabe de antemano cuál de las tres puertas esconde el auto. Esto significa que, sin importar qué puerta elijas al principio, él siempre va a abrir otra puerta con una cabra detrás. La pregunta es: ¿te quedarías con tu elección original o cambiarías? ¿Te conviene cambiar de puerta?

La respuesta instintiva, pero incorrecta, de casi todo el que se cruza el problema por primera vez es: “Me quedo, ya que es igual de probable que el auto esté detrás de cualquiera de las dos puertas cerradas”. En este post vamos a ver por qué esa respuesta es errónea, y vamos a entender bien por qué cambiar es la mejor estrategia.

Repaso de probabilidad

Antes de meternos en el problema de Monty Hall, repasemos algunos conceptos fundamentales de probabilidad.

Espacio muestral y eventos

Imaginemos un conjunto de \(N\) resultados posibles, denotado como \(\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_N\}\). Cada resultado \(\omega_i\) representa un desenlace posible de un experimento. Por ejemplo, en el contexto del juego de Monty Hall, \(\omega_1\) podría corresponder a que el auto esté detrás de la puerta 1, \(\omega_2\) a que esté detrás de la puerta 2, y \(\omega_3\) a que esté detrás de la puerta 3. A esta colección de resultados se la llama espacio muestral \(\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3\}\).

Un evento \(A\) es un subconjunto del espacio muestral, es decir, \(A \subset \Omega\). Por ejemplo, sea \(A\) el evento en el que el auto no está detrás de la puerta 1. Entonces \(A = \{\omega_2, \omega_3\}\).

La probabilidad de un evento \(A\) se define como el cociente entre la cantidad de resultados en el evento \(A\) y la cantidad total de resultados del espacio muestral \(\Omega\):

\[\mathbb{P}\{A\} = \frac{\text{cantidad de resultados en } A}{\text{cantidad total de resultados}}\]

En el ejemplo anterior, donde \(A\) es el evento en el que el auto no está detrás de la puerta 1, la probabilidad de \(A\) es \(\mathbb{P}\{A\} = \frac{2}{3}\), ya que hay dos resultados en \(A\) y tres resultados en \(\Omega\).

Esta definición es válida solo si todos los resultados son igualmente probables. Es el caso del problema de Monty Hall, donde asumimos que el auto tiene la misma probabilidad de estar detrás de cualquiera de las tres puertas.

Probabilidad condicional

Con frecuencia, la probabilidad que queremos conocer está condicionada a algún evento. El efecto de la condición es quitar algunos de los resultados del espacio muestral o, de forma equivalente, restringir los elementos admisibles a una región limitada. Siguiendo con el ejemplo anterior, sea \(A\) el evento en el que el auto no está detrás de la puerta 1, y \(B\) el evento en el que el auto no está detrás de la puerta 3.

La probabilidad de \(A\) dado \(B\) es la probabilidad de que el auto no esté en la puerta 1 sabiendo que ya conocemos que no está detrás de la puerta 3. En otras palabras, estamos restringiendo el espacio muestral a los resultados que están en \(B\). Podemos pensarlo como quitar del espacio muestral \(\Omega\) los resultados que no pertenecen a \(B\).

Ahora tenemos un nuevo espacio muestral restringido \(\Omega'\) y un nuevo evento \(A'\). La probabilidad de \(A\) dado \(B\) es la probabilidad de \(A'\) en el nuevo espacio muestral \(\Omega'\):

\[\mathbb{P}\{A'\} = \frac{\text{cantidad de resultados en } A'}{\text{cantidad total de resultados en } \Omega'}\]

Notemos que \(A'\) es, en esencia, la intersección de \(A\) y \(B\), y que \(\Omega'\) es simplemente \(B\). Por lo tanto, la probabilidad de \(A\) dado \(B\) se puede escribir como:

\[\mathbb{P}\{A \mid B\} = \frac{\text{cantidad de resultados en } A \cap B}{\text{cantidad total de resultados en } B} = \frac{1}{2}\]

Resolviendo el problema de Monty Hall

Para resolver el problema de Monty Hall, consideremos que jugamos \(3000\) partidas del juego. Cada partida es un experimento en el que el auto se coloca al azar detrás de una de las tres puertas. Asumimos que el auto tiene la misma probabilidad de estar detrás de cualquiera de ellas, así que esperamos tener aproximadamente \(1000\) resultados con el auto detrás de la puerta 1, \(1000\) con el auto detrás de la puerta 2 y \(1000\) con el auto detrás de la puerta 3.

Entonces, nuestro espacio muestral \(\Omega\) es el conjunto de todos los resultados posibles de las \(3000\) partidas. Los eventos \(A_1\), \(A_2\) y \(A_3\) se definen como el evento en el que el auto está detrás de la puerta 1, 2 y 3, respectivamente. Por último, asumimos que la puerta que elegimos es siempre la puerta 1, ya que esto no afecta la probabilidad de que el auto esté detrás de ninguna de ellas.

Ya estamos en condiciones de resolver el problema de Monty Hall. Vamos a considerar dos enfoques: uno en el que el presentador ignora qué hay detrás de las puertas, y otro en el que sí lo sabe. Nuestro objetivo es calcular la probabilidad de ganar el auto si nos quedamos con nuestra elección original, definida como \(\mathbb{P}\{W\}\).

Primer enfoque: un presentador que no sabe

Empecemos asumiendo que el presentador no sabe qué hay detrás de las puertas. Las reglas son las mismas de antes. Eliges una puerta y el presentador abre al azar una de las restantes. Hay dos escenarios posibles:

1. El presentador abre una puerta con el auto detrás. En ese caso el juego no tendría sentido y la partida se descarta.
2. El presentador abre una puerta con una cabra detrás. En ese caso te quedan dos puertas: la que elegiste y la que el presentador no abrió.

La probabilidad de que el presentador abra una puerta con el auto detrás es \(\frac{1}{3}\). Es decir que esperamos descartar una de cada tres partidas. Del evento \(A_1\) no se quita ningún resultado, ya que el presentador nunca abriría una puerta con el auto detrás. De los eventos \(A_2\) y \(A_3\) se quita la mitad de los resultados, ya que el presentador abriría una puerta con el auto detrás la mitad de las veces.

Nos queda entonces un espacio muestral restringido \(\Omega'\) y los nuevos eventos \(A_1'\), \(A_2'\) y \(A_3'\). Si decidimos mantener nuestra elección inicial, la puerta 1, ganaríamos solo si el resultado observado está en \(A_1'\). En caso contrario perderíamos, ya que los resultados restantes en \(A_2'\) y \(A_3'\) tienen una cabra detrás de la puerta 1. Por lo tanto, la probabilidad de ganar el auto manteniendo nuestra elección inicial, dado que el presentador no sabe qué hay detrás de las puertas, es:

\[\mathbb{P}\{W\mid \text{el presentador abre una puerta al azar}\} = \frac{\text{cantidad de resultados en } A_1'}{\text{cantidad total de resultados en } \Omega'}\]

Reemplazando:

\[\mathbb{P}\{W\mid \text{el presentador abre una puerta al azar}\} = \frac{1000}{1000 + 500 + 500} = \frac{1}{2}\]

Manteniendo nuestra elección inicial tenemos un \(50\%\) de probabilidad de ganar el auto. Es la misma probabilidad que tendríamos si decidiéramos cambiar de puerta. Por lo tanto, no importa si mantenemos la elección inicial o cambiamos: la probabilidad de ganar el auto es la misma en ambos casos.

Segundo enfoque: un presentador que sí sabe

Llegamos así a la parte más interesante del problema de Monty Hall. ¿Qué pasa si el presentador sabe qué hay detrás de las puertas? Asumamos que sabe dónde está el auto y que siempre abre una puerta con una cabra detrás. En el evento \(A_1\), el presentador abriría la puerta 2 o la 3 indistintamente, ya que ambas tienen una cabra detrás. En el evento \(A_2\) siempre abrirá la puerta 3, ya que la puerta 2 tiene el auto detrás. Evidentemente, abrirá la puerta 2 para los resultados del evento \(A_3\).

Como el presentador nunca abre una puerta con el auto detrás, no hay partidas descartadas. Por lo tanto, el espacio muestral \(\Omega'\) es el mismo que el espacio muestral original \(\Omega\). Si decidimos mantener nuestra elección inicial, la puerta 1, ganaríamos solo si el resultado observado está en \(A_1'\). En caso contrario perderíamos, ya que los resultados restantes en \(A_2'\) y \(A_3'\) tienen una cabra detrás de la puerta 1. Por lo tanto, la probabilidad de ganar el auto manteniendo nuestra elección inicial, dado que el presentador sabe qué hay detrás de las puertas, es:

\[\mathbb{P}\{W\mid \text{el presentador abre una puerta con una cabra detrás}\} = \frac{\text{cantidad de resultados en } A_1'}{\text{cantidad total de resultados en } \Omega'}\]

Es decir:

\[\mathbb{P}\{W\mid \text{el presentador abre una puerta con una cabra detrás}\} = \frac{1000}{1000 + 1000 + 1000} = \frac{1}{3}\]

Tenemos un \(33.3\%\) de probabilidad de ganar el auto si mantenemos nuestra elección inicial. Queda claro que deberíamos cambiar de puerta, ya que la probabilidad de ganar el auto es mayor si lo hacemos.

Conclusión

El problema de Monty Hall es una demostración fascinante de cómo nuestras intuiciones sobre la probabilidad pueden llevarnos por el camino equivocado. A primera vista, la elección entre quedarse con la puerta inicial o cambiar parece intrascendente, dado que hay solo tres puertas involucradas. Sin embargo, un análisis más profundo revela que el conocimiento que el presentador tiene sobre el contenido de las puertas afecta significativamente las probabilidades.

Cuando las acciones del presentador están gobernadas por el azar, como en el caso del presentador que no sabe, las probabilidades de ganar el auto se mantienen distribuidas de manera pareja. La incertidumbre que introduce su elección equilibra la balanza entre quedarse y cambiar, lo que da una probabilidad de éxito de \(\frac{1}{2}\) para ambas estrategias.

Sin embargo, la verdadera esencia del problema de Monty Hall sale a la luz cuando el presentador sabe y revela deliberadamente una cabra. En ese escenario, quedarse con la elección inicial le deja al concursante una probabilidad de \(\frac{1}{3}\) de ganar, mientras que cambiar de puerta aumenta la probabilidad de éxito a \(\frac{2}{3}\). Este resultado inesperado desafía nuestras intuiciones y subraya la importancia de considerar probabilidades condicionales al tomar decisiones.

El problema de Monty Hall deja una lección valiosa de la teoría de probabilidad: actualizar las probabilidades a partir de nueva información es un aspecto crucial para tomar decisiones informadas. Ya sea en un concurso de televisión o en situaciones de la vida real, entender cómo evolucionan las probabilidades a medida que cambian las circunstancias puede llevar a mejores resultados. Así que, aunque el problema de Monty Hall parezca contraintuitivo al principio, es un recordatorio convincente de que a veces las probabilidades son mucho más sutiles de lo que aparentan.

Bibliografía

• Richard W. Hamming - The Art of Probability for Scientists and Engineers.
• Gill, Richard - The Monty Hall Problem. Mathematical Institute, University of Leiden, Netherlands.